ÁGUA ECONOMIA QUE FAZ SENTIDO

Andréa Paula Rochenbach Fauro* - e-mail:[email-masked]
Graciela Andréia Blume* - e-mail:[email-masked]

* Alunos do Curso de Licenciatura Plena em Matemática da Unijuí – RS

1. INTRODUÇÃO

A água é um recurso finito e não tão abundante quanto pode parecer; por isso deve ser economizada. Essa é uma noção que só começa a ser difundido nos últimos anos, à medida que os racionamentos se tornaram urgentes e necessários, até mesmo no Brasil, que é um dos países com maior quantidade de reservas hídricas -cerca de 15% do total da água doce do planeta. Não é por acaso que cada vez mais pessoas e organizações estão se unindo em defesa de seu uso racional. Segundo a Organização das Nações Unidas (ONU), no século 20 o uso da água cresceu duas vezes mais que a população. A situação é tão preocupante que existe quem preveja uma guerra mundial originada por disputas em torno do precioso líquido.
Para não se chegar a esse ponto, a saída é poupar,  e o esforço tem de ser coletivo. “São questões de comportamento e atitude que se encontram no centro da crise”,  diz o relatório da ONU sobre a água no mundo. Muitas vezes as crianças e os jovens tem maior consciência do problema do que seus pais, graças às escolas. O momento atual é muito oportuno para investir ainda mais no trabalho em sala de aula, por que a discussão está na ordem do dia. A conferência Nacional dos Bispos do Brasil (CNBB) escolheu a água como tema da Campanha da Fraternidade de 2004 e o Governo Federal instituiu o Sede Zero, um programa vinculado ao Fome Zero.
Deste modo este trabalho foi elaborado a partir de uma situação problema inicial: descobrir o volume de água gasta para fazer a barba. Do ponto de vista econômico se faz necessário investigar e comparar o volume de água gasta fazendo a barba com a torneira aberta o tempo todo, e fazer a barba, alternando abrindo/fechando a torneira quando não necessária a sua utilização.Vários experimentos, com pessoas de uma mesma residência da cidade de Ijuí, onde foram coletados dados para a análise e elaboração do mesmo. Sendo desenvolvido por etapas, iniciando pela determinação da vazão de água para diferentes aberturas de torneira e chuveiro, cálculo do volume de água para diferentes atividades e tem por objetivo principal destacar a economia do consumo de água para reduzir gastos diários.
Neste sentido a modelagem matemática faz a ponte entre o mundo real e a matemática. Isso é muito bem expressado por Rodney C. Bassanezi ao enunciar o que consideramos uma boa definição de modelagem matemática:

“A modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.”.

Diante desta realidade as situações problemas apresentadas neste trabalho da disciplina de Modelagem Matemática II, envolve conteúdos de matemática para serem trabalhados com os alunos do Ensino Médio, que são Funções de 1º e 2º Graus, Equações de 1º e 2º Graus, Gráficos, Estatística (média e desvio padrão), matrizes:método da matriz inversa e método de Craamer e a transformação de medidas.

PROBLEMA: ENCONTRAR O VOLUME DE ÁGUA GASTA PARA FAZER A BARBA

Para chegar a este volume inicialmente encontraremos a vazão da torneira e para encontrar o volume de água gasta para tomar banho, também definiremos a vazão do chuveiro.

2. DETERMINAÇÃO DA VAZÃO PARA DIFERENTES ABERTURAS DE TORNEIRA E CHUVEIRO

2.1Determinação da vazão de água da torneira do banheiro de uma residência

Medir a vazão da torneira: Vazão é a razão entre o volume de água que passa por uma seção reta da torneira por unidade de tempo.

(1)

Onde: Q é a vazão
V é o volume de água
Dt é o intervalo de tempo

O experimento acontecerá em uma torneira de metal, marca “MEBER”, utilizando um relógio com cronômetro.
Usaremos um copo americano para medir o volume de água (tronco de cone):

(2)

V=volume do tronco de cone(copo)
h=altura do copo
R=raio maior
r=raio menor
Assim: h = 0,11 m
R = 0,07 m
r= 0,055 m
O volume do copo será 0,001355695m3

Tendo o volume do copo, agora precisamos descobrir o volume de água gasta em três situações.Para tanto estipulamos um tempo definido em 60 segundos, assim marcamos este tempo no relógio de cronômetro e abrimos a torneira em de 1/4  volta, 1/2 de volta e 1 volta completa. Nestes momentos a torneira ficava aberta o tempo todo, a pia do banheiro estava fechada com uma tampa.
Ao completar o tempo, medimos a quantidade de água acumulada na pia, utilizando o copo para os três casos separadamente, chegando na quantidade de copos utilizada, através da multiplicação do volume do copo pela quantidade de copos encontrada. Obtemos os resultados que podem ser visualizados na tabela abaixo:

Com o volume de água encontrado, agora queremos encontrar a vazão da torneira para as diferentes aberturas de torneiras, lembrando de (1), apenas substituímos na fórmula, chegando na tabela 2, que pode ser visualizada:

2.2 Determinação da vazão do chuveiro do banheiro de uma residência

Para medir a vazão do chuveiro, lembrando que vazão é a razão entre o volume de água que passa por uma seção reta do chuveiro por unidade de tempo.
O experimento acontecerá em um chuveiro de plástico de marca “FAME”, utilizando um relógio com cronômetro.
Usaremos uma travessa cilíndrica de vidro para medir o volume de água e encontrar a vazão, a travessa tem o volume de:

(3)
V=0,01969408m3

Assim: V=volume da travessa cilíndrica
r= raio da travessa cilíndrica= 0,28 m
h= altura da travessa cilíndrica=0,08 m

Para descobrir a vazão do chuveiro, é necessário, inicialmente, descobrir o volume de água gasta com tempo constante em 60 segundos, para tanto é necessário medir com a travessa cilíndrica este volume. Então ligamos o chuveiro, colocamos a travessa em baixo, e marcamos o tempo de 60 segundos, depois de transcorrido este tempo, medimos a quantidade de água acumulada. Multiplicando a quantidade de travessa obtida pelo tempo. Obtendo o volume que está na tabela 3. Agora para descobrir a vazão de água do chuveiro com tempo constante em 60 segundos, apenas substituo o volume encontrado em (1), chegando na vazão da tabela abaixo.

Tabela 3 – Volume e vazão de água para a abertura do chuveiro

2.3 Vazão da torneira em função de ( teta)

Sabemos que Q=f(  )

Deste modo .

Montamos o gráfico da vazão da torneira em função de teta ( ). Pois já temos a vazão e as aberturas de torneiras, correspondem a exatamente /2, e .2. Que pode ser visualizado a abaixo

Figura 1 – Representação da vazão de água em função de teta

Para encontrar a função característica deste gráfico, definimos os pontos para utilizar na resolução do problema:

x= (abertura da torneira), sendo que:

y= Q=vazão da torneira

Obtendo as seguintes equações:

Resolvendo este sistema pela regra de Cramer:

Resolvendo o mesmo sistema através da matriz inversa temos:

Definindo que :

Como A é uma matriz de 3x3 e determinente de A é diferente de zero, então A admite uma inversa e esta inversa será única. Determinante de A é diferente de zero:

Com o auxílio do aplicativo Maple, o sistema foi resolvido na forma matricial, obtendo a função: Q=-0,00001068360956 +0,0001294593681 -0,0001656961000
Os resultados obtidos pelo método de Crammer e pela da matriz inversa pode ser visualizado na tabela 4 , abaixo.

Tabela 4: Vazão da torneira em função de Teta

Colocando os dados da tabela na forma de gráficos, percebe-se as semelhanças entre os método

Figura 2: Vazão da torneira em função de Teta – Inversa

Figura 3: Vazão da torneira em função de Teta – Craamer

3.CÁLCULO DO VOLUME DE ÁGUA PARA DIFERENTES ATIVIDADES

Como já sabemos a vazão da torneira e do chuveiro agora podemos descobrir o volume de água gasta para fazer a barba, lavar o rosto, lavar as mãos e tomar banho.
O tempo para fazer a barba é influenciado pela qualidade da lâmina de barbear, quantidade de barba, a disposição do homem em realizar a mesma. Assim verifica-se que este tempo pode variar de pessoa para pessoa de acordo com as especificidades.
Como também para lavar o rosto, as mãos e tomar banho o que pode influenciar e variar este tempo será também a disposição de cada pessoa e o tempo que dispõe para a realização da mesma.
Para chegar no cálculo da média do volume de água gasta para fazer a barba, inicialmente encontraremos uma média da vazão de água para cada abertura da torneira. Para chegar neste experimentalmente foi realizado o experimento abaixo, com tempo fixo em 60 segundos.

Tabela 5 – Dados experimentais da vazão da torneira
Abertura da torneira Experimento

Obtendo as equações que representam o volume de água gasta, para cada abertura da torneira, será:

Utilizando os dados encontrados, podemos observar nas tabela e encontrar o volume para diferentes tempos para cada abertura da torneira.

Tabela 6 – Volume de água gasta com ¼ de volta da torneira aberta

Tabela 7 – Volume de água gasta com1/2 de volta da torneira aberta

Tabela 8 – Volume de água gasta com 1 de volta da torneira aberta

Calculando o volume médio simples, para cada abertura da torneira obtemos:
V1=0,00188783m3
V2=0,01807584m3
V3=0,03494671 m3

A variância deste conjunto de dados é a média aritmética dos quadrados dos desvios. Indicaremos a variância por Va. Assim temos:

Tabela 9 – Dados sobre média e variância de V1

A média aritmética dos quadrados dos desvios é =0,00000000696082012
Portanto a variância Va=0,00000000696082012 m3
A diferença entre cada valor do volume e a média é chamada de desvio.Dessa forma, os desvios para o nosso conjunto de dados, poderão ser visualizados abaixo. A soma dos desvios é sempre nula.
O desvio-padrão, que indicaremos por , é definido como sendo a raiz quadrada da variância. Dessa forma, temos:

Tabela 10 – Dados sobre média e variância de V2.

Tabela 11 – Dados sobre média e variância de V3

3.1Volume de água gasta para fazer a barba

Para descobrirmos este volume, que pode ser representado por:

Sabemos que Q=vazão da torneira(já conhecida) e = tempo gasto para fazer a barba, com diferentes aberturas de torneiras.
Para solucionar o este problema, precisamos apenas marcar o tempo gasto e substituir na fórmula (4), encontrando o volume de água. Então, marcando o tempo para fazer a barba em diferentes aberturas de torneira chegamos no cálculo do volume de água gasta para fazer a barba, que pode ser visualizado na tabela abaixo:

Tabela 12– Volume de água gasta para fazer a barba

3.2 Volume de água gasta para fazer a barba, lavando o rosto

Como já sabemos o volume de água gasta para fazer a barba, acreditamos ser interessante, encontrar o volume de água gasta, para fazer a barba lavando o rosto, para isto é necessário, encontrar este volume a mais de água gasta, que chamaremos de .
Definindo: V = representa o volume água gasta para fazer a barba, encontrado anteriormente
V0= volume de água gasta para lavar o rosto
Esclarecendo que o , será encontrado, multiplicando-se a vazão da torneira, pelo tempo para lavar o rosto. Então somaremos, o volume de água gasta para fazer a barba com o volume de água gasta para lavar o rosto, esta soma será o VT(volume total),  para fazer a barba. Os resultados podem ser visualizados na tabela abaixo:

Tabela 13 – Volume de água gasta para fazer a barba, lavando o rosto

.3 Volume de água gasta para fazer a barba abrindo e fechando a torneira

Em função do grande desperdício da água que se faz hoje, é essencial verificar matematicamente, o volume de água gasta economicamente e comparar este volume com encontrado acima, onde não se fechou a torneira para fazer a barba.
Para encontrar este volume pedimos para o nosso, ator fazer a barba e no momento que ele não utilizasse a água da torneira, esta fosse fechada. Durante a experiência foi cronometrado este tempo, substituindo em (4) e encontrando o volume de água gasta, que pode ser visualizada na tabela abaixo:

Tabela 14 - Volume de água gasta para fazer a barba abrindo e fechando a torneira

3.4. Volume de água gasta para lavar o rosto

Da mesma forma que descobrirmos o volume de água para fazer a barba, podemos descobri o volume de água gasta para lavar o rosto, apenas sendo necessário descobrir o tempo gasto, para lavar o rosto para as diferentes aberturas da torneira e substituir em (4).

Tabela 15 - Volume de água gasta para lavar o rosto

3.5. Volume de água gasta para lavar as mãos

Da mesma forma que descobrirmos o volume de água para fazer a barba, podemos descobrir o volume de água gasta para lavar as mãos, apenas sendo necessário descobrir o tempo gasto para lavar as mãos, pra as diferentes aberturas da torneira e substituir em (4):

Tabela 16-Volume de água gasta para lavar as mãos

3.6. Volume de água gasta para tomar banho

Para descobrirmos este volume, que pode ser representado por:
Sabendo que Q=vazão do chuveiro (já conhecido) e = tempo gasto para tomar banho, com diferentes aberturas do registro.
Para solucionar o nosso problema, precisamos apenas marcar o tempo de banho gasto, nas diferentes aberturas do registro e substituir na fórmula (3), encontrando o volume de água. Então, marcando o tempo para diferentes aberturas do registro chegamos no cálculo do volume de água gasta para tomar banho, que pode ser visualizado na tabela abaixo:

Tabela 17 - Volume de água gasta para tomar banho

4. ANÁLISE DOS RESULTADOS

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) citam a importância de um projeto educacional para a preservação dos recursos naturais. Segundo suas diretrizes, é essencial falar sobre economia de água, abordando hábitos na escola e em casa.
Neste sentido, o nosso trabalho vem justamente a encaixar-se a esta necessidade vivida nos dias atuais, pois nas escolas não se desenvolvem programas de uso racional desse recurso. Provando que este assunto pode ser trabalhado de forma interdisciplinar, não apenas em Ciências, mas também em Matemática, História e sob enfoque da ética. Neste sentido a matemática, através da modelagem, consegue fazer esta ponte com as outras disciplinas. Basta observar os dados da tabela 18:

Tabela 18: Demonstração do volume de água gasta para fazer a barba abrindo /fechando a torneira e a deixando sempre aberta.

Nesta tabela, percebe-se que do tempo 1 para o tempo 2, variou o tempo , mas o volume continuou o mesmo,pois é o período de torneira fechada. Iniciando por aqui a economia de água, e se repetindo esta relação nos de mais tempo.
Percebe-se a economia através da diferença em fazer à barba deixando a torneira sempre aberta e a economia ao fazer a barba abrindo e fechando a torneira. A diferença, entre esses volumes é de 0,0077207 .
Através destes cálculos, fica evidente como é necessário economizar água, são pequenas atitudes, que influenciam no meio em que vivemos e na nossa própria vida.
Visualizando estes resultados na figura 7, evidenciamos que, obtemos uma reta constante, que é o volume de água gasta fazendo a barba sem fechar a torneira, e uma outra reta, em que o volume de água é constante, representando, que o volume de água é constante, no tempo em que a torneira esta fechada.
Figura 4: Volume de água gasta para fazer a barba abrindo /fechando a torneira e a deixando sempre aberta.

Com estes dados definidos fomos até uma Companhia de Saneamento, descobrir quanto que é cobrado por de água, e descobrimos que o gasto de até 20 , o valor de R$ 2,33 , calculamos o gasto de água para os dois casos e chegamos, nos seguintes resultados:

Tabela 19: Volume e custo de água gasta para fazer a barba abrindo /fechando a torneira e a deixando sempre aberta.

Volume F ( ) Custo F (R$) Volume A ( ) Custo A (R$) Custo A - Custo F (R$_)
0,0049075 0,011434475 0,0126282 0,029423706 0,017989231

Percebemos que o custo é considerável, em relação ao nosso consumo e tempo, pois se aproxima de R$ 0,1. Lembrando que este consumo é apenas para fazer a barba, em um dia do mês.
Somando o volume gasto para diferentes atividades diárias utilizando volta da torneira e do chuveiro temos:
1. Fazer a barba: 0,020335425

2. Lavar o rosto: 0,0033892375

3. Lavar as mãos: 0,00020335425

4. Tomar banho:0,09119057

Juntando estes volumes chegamos no volume total de 0,1151184 , multiplicando pelo valor cobrado pela Companhia de Saneamento que é de R$ 2,33, obtemos um gasto de R$ 0,268225872. Isto em apenas alguns segundos e considerando uma única vez no dia.
Diante de todas as informações percebemos que economizar a água é uma necessidade diante da escassez que poderá a vir ocorrer e também por que economizar gera economia financeira.
Gostaríamos de lembrar que a idéia de que sobra água no mundo se deve ao fato de que ela ocupa 70% da superfície terrestre. Mas 97,5% deste total é constituído de água salgada. Dois terços do restante se encontram em forma de gelo, nas calotas polares e no topo de montanhas. Se considerarmos só o estoque de água doce renovável pelas chuvas, chegamos a 0,002% do total mundial.

5.CONCLUSÃO

No curso da vida de cada indivíduo, apresentam-se situações que devem ser superadas, isto é, resolvidas. Isto é, viver é uma permanente resolução dos problemas que a realidade nos propõe. Nessa resolução, utilizamos experiências prévias, próprias e de outros, compartilhados, e de conhecimento adquirido como resultado de processos cognitivos próprios, ampliando no encontro com os outros. Esses processos cognitivos constituem, em geral, a modelagem, pois ela reflete sobre modelos, utilizando informações descritas em termos matemáticos, usando representações numéricas e geométricas. A vida nos propõe, permanentemente, problemas e nossa ação visa resolvê-los. A matemática é um dos principais instrumentos que utilizamos para lidar com esses problemas, e avança graças a essas situações, como nos lembra Luís Santaló:

“Por meio de uma ação alternada propor/resolver é que a matemática avança, desenvolve-se e cresce”.

Os problemas, devidamente formulados, como são tratados normalmente, são proposições sobre as representações e não sobre o fato real. Neste sentido na disciplina de Modelagem Matemática II, fomos desafiados a desenvolver um trabalho que aplicasse conteúdos do ensino médio em situações práticas de nossa realidade.
Sendo o momento atual muito oportuno para discutir e se conscientizar da necessidade em economizar água, além de ser o tema que a maioria das escolas, iniciou o ano letivo explorando.
Após algumas discussões no grupo, resolvemos, direcionar o nosso trabalho, para a necessidade de economizar água através de mudança de algumas atitudes.
O que levamos em consideração, quando estamos trabalhando com modelagem é conseguir estabelecer os problemas que serão explorados, para então se preocupar com a matemática que será utilizada para solucioná-lo, pois como podemos perceber os conteúdos matemáticos vão surgindo a cada nova idéia que tivemos.
O modelo matemático proposto consegue solucionar o nosso problema, pois provamos através da matemática que mudar atitudes diárias, influenciam e muito na economia do volume de água gasta. Também percebemos que a partir de um único problema, descobrimos muitas atividades a serem exploradas, integrando os diferentes conteúdos de matemática, em um mesmo tema, provando que estes conceitos podem e devem ser trabalhados em sintonia/ligação, para que aconteça a construção do real do conhecimento. Além disso, acreditamos que este trabalho explora toda à parte de álgebra do ensino médio, podendo ser aplicado no ensino-aprendizagem da matemática.
Contudo, acreditamos a modelagem matemática, reflete sobre modelos, utilizando informações descritas em termos matemáticos, usando representações numéricas e geométricas. Possibilitando a participação do aluno em todas as fases do processo, com discussões interessantes e significativas, possibilitando ao aluno tornar-se um pesquisador.

6.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BIEMBENGUT, Maria Salette. Modelagem matemática e implicações no ensino-aprendizagem de matemática.Blumenau.Editora da Furb, 1999.

BRASIL, MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO. Secretaria de Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, 1997.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática:contexto & aplicações. São Paulo.Editora Àtica, 2002.

-www.sabesp.com.Br/sabesp_ensina/sala_professor/defaut.htm

-www.aguaecidade.org.Br

-www.pura.poli.usp.br