Problemas
 

4.- O que é um bom problema?

Torna-se cada vez mais comum vermos nos livros-texto elementares a inclusão de desafios matemáticos dirigidos ao leitor. Tipicamente não correspondem diretamente ao material em ensino e, assim, muitos pensam que tratam-se de problemas. Contudo, o mais adequado seria classificá-los como charadas ou quebra-cabeças, do tipo que apareciam no rodapé dos antigos almanaques, e que visam mais o entretenimento. Um bom problema matemático além de representar um desafio, tanto ao poder dos matemáticos como ao poder da disciplina por eles criada, também "mexe" com a Matemática: faz com que a melhor entendamos, fertiliza-a e permite que possamos resolver outros problemas. Um bom problema de matemática é muito mais do que uma charada.

Um ótimo exemplo é o chamado Problema de Fermat:

Sendo n = 3, 4, 5, ...,
mostrar que NAO HA' nenhuma trinca de inteiros positivos x, y e z verificando a equação:
x n + y n = z n

 

enunciado mais simples é difícil achar, contudo esse problema precisou de quase 400 anos de esforços até ser resolvido por A. Wilkes em 1995. Sua grandeza não está na dificuldade e também não está na utilidade desse resultado ( que é praticamente inexistente ); ela está no fato que as tentativas de resolvê-lo produziram idéias e problemas que fertilizam inúmeros campos: Teoria dos Números, Geometria Algébrica, etc.

 

TESTE SEU ENTENDIMENTO DESTE TEXTO:

TESTE
Duas atividades matemáticas muito diferentes são a invenção de algoritmos e a aplicação de algoritmos. Pede-se:

  • classificá-las como problema ou exercício
  • achar exemplos dessas atividades no texto acima


TESTE
George Polya é autor dos mais famosos livros sobre resolução de problemas matemáticos, entre eles o How to Solve It. O texto abaixo é uma ligeira modificação de uma frase de Polya; pede-se uma palavra que se encaixe adequadamente no vazio assinalado com um ......... :

se a tarefa desperta sua curiosidade, e e' um desafio para sua ........... e se V. a realiza por seus próprios meios então V. pode dizer que sentiu o prazer de resolver um problema

TESTE
A partir do que foi colocado neste texto, explique a razão de ocorrer que o que seja um problema para uma pessoa possa não ser para outra.

Como resolver problemas, segundo G. Polya.

Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, o grande matemático George Polya o dividiu em quatro etapas, que resumimos abaixo. Antes de passarmos a elas, é muito importante enfatizar que Polya nunca pretendeu que sua divisão correspondesse à uma sequência de etapas a serem percorridas uma depois da outra, sem que nunca seja conveniente ou necessário voltar atrás funcionasse como uma poção mágica.

O texto que se segue foi elaborado a partir de um resumo de Peter Alfeld ( Department of Mathematics, University of Utah ) sobre o livro: G. Polya, "How to Solve It", 2nd ed., Princeton University Press, 1957.

ROTEIRO PARA RESOLVER PROBLEMAS

1)- ENTENDA O PROBLEMA:


Primeiro, você tem de entender o problema:
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições?
É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes para determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias?
Faça uma figura. Outra se necessário. Introduza notação adequada.
Separe as condições em partes

2) - CONSTRUA UMA ESTRATEGIA DE RESOLUCAO

Ache conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para "bolar" um plano ou estratégia de resolução do problema.
Vale a pena expandirmos um pouco essas conselhos:

Você já encontrou este problema ou algum parecido?
Você conhece um problema semelhante? Você conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar?
Olhe para a incógnita! E tente achar um problema familiar e que tenha uma incógnita semelhante
Aqui está um problema relacionado com o seu e que você já sabe resolver. Você consegue aproveitá-lo? pode usar seu resultado? Ou seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar de modo a viabilizar esses objetivos?
Você consegue enunciar o problema de uma outra maneira?
Se você não consegue resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido. Você consegue imaginar um caso particular mais acessível? Um caso mais geral e mais acessível? Você consegue resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das condições do problema e observe o que ocorre com a incógnita, como ela varia agora? Você consegue obter alguma coisa desde os dados? Consegue imaginar outros dados capazes de produzir a incóognita? Consegue alterar a incógnita ou os dados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais próximos?
Você está levando em conta todos os dados? E todas as condições?

3) - EXECUTE A ESTRATÉGIA

Frequentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo, a maioria dos principiantes tendem a pular para essa etapa prematuramente, e acabam dando-se mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na execução.


Execute a estratégia.
Ao executar a estratégia, verifique cada passo. Você consegue mostrar claramente que cada um deles está correto?

4) - REVISE


Examine a solução obtida.
Verifique o resultado e o argumento
Você pode obter a solução de um outro modo?
Qual a essência do problema e do método de resolução empregado? Em particular, você consegue usar o resultado, ou o método, em algum outro problema?

Fonte: athena.mat.ufrgs | MiniWeb Educação |

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