Tradu=E7=E3o

"Aprender, ensinar e aprender a ensinar"

Polya

"On Lerning, Teaching and Learning Teaching",
in = Mathematical Discovery (1962-64), cap. = XIV. =20

	"O = que se =E9=20 obrigado a descobrir por si pr=F3prio deixa = um caminho=20 na mente que se pode percorrer novamente = sempre que se=20 tiver necessidade" Lichtenberg =93Todos os=20 conhecimentos humanos come=E7am por = intui=E7=F5es, avan=E7am para = concep=E7=F5es e terminam=20 com ideias=94 Kant
	"Escrevo para que=20 o aprendiz possa sempre aperceber-se do fundamento = interno das=20 coisas que aprende, de tal forma que a origem da = inven=E7=E3o possa=20 apare=E7er e, portanto, de tal forma que o aprendiz=20 possa aprender tudo como se o tivesse inventado por si=20 pr=F3prio" Leibniz

1.Ensinar=20 n=E3o =E9 uma ci=EAncia

= Vou dar-vos=20 conta de algumas das minhas opini=F5es acerca do processo de = aprendizagem,=20 da arte de ensinar e da forma=E7=E3o de professores.

As minhas=20 opini=F5es resultam de uma longa experi=EAncia. Apesar disso, = enquanto=20 opini=F5es pessoais, elas podem ser irrelevantes raz=E3o pela qual = n=E3o me=20 atreveria a com elas desperdi=E7ar o vosso tempo se o ensino = pudesse ser=20 completamente regulamentado por factos e teorias = cient=EDficos. Por=E9m,=20 n=E3o =E9 este o caso. Ensinar n=E3o =E9, na minha opini=E3o, = apenas um ramo da=20 psicologia aplicada. N=E3o o =E9 em nenhum aspecto, pelo menos no = presente.=20 Ensinar est=E1 em correla=E7=E3o com aprender. O estudo = experimental e te=F3rico=20 da aprendizagem =E9 um ramo da psicologia cultivado de forma = extensiva e=20 intensa. Mas existe uma diferen=E7a. Estamos principalmente = preocupados com=20 a complexidade das situa=E7=F5es de aprendizagem, tais como = aprender =E1lgebra=20 ou aprender a ensinar, e com os seus efeitos educacionais a longo = prazo.=20 Por seu lado, os psic=F3logos dedicam grande parte da sua = aten=E7=E3o a=20 situa=E7=F5es simplificadas e a curto prazo. Quer isto dizer que, = embora a=20 psicologia da aprendizagem possa dar-nos pistas interessantes, = n=E3o pode=20 ter a pretens=E3o de dar a =FAltima palavra sobre os problemas do=20 ensino.

2.=20 O objectivo do ensino

= N=E3o podemos=20 julgar o desempenho do professor se n=E3o soubermos qual =E9 o seu = objectivo.=20 N=E3o podemos discutir seriamente o ensino se n=E3o concordarmos, = at=E9 certo=20 ponto, =E0cerca do objectivo do ensino.
= Deixem-me=20 especificar. Estou preocupado com a matem=E1tica nos curr=EDculos = do=20 secund=E1rio e tenho uma ideia "fora de moda" acerca do seu = objectivo:=20 primeiro, e acima de tudo, ela deveria ensinar os jovens a=20 PENSAR.=20

Esta =E9 em=20 mim uma convic=E7=E3o firme. Podem n=E3o concordar inteiramente = com ela mas=20 presumo que concordar=E3o com ela at=E9 certo ponto. Se n=E3o = consideram que=20 "ensinar a pensar" =E9 um objectivo priorit=E1rio, podem = encar=E1-lo como um=20 objectivo secund=E1rio e teremos pontos comuns suficientes para a = discuss=E3o=20 seguinte.=20

"Ensinar=20 a pensar" significa que o professor de Matem=E1tica n=E3o deve = simplesmente=20 transmitir informa=E7=E3o mas tamb=E9m tentar desenvolver a = capacidade dos=20 estudantes para usarem a informa=E7=E3o transmitida: deve = enfatizar o=20 saber-fazer, atitudes =FAteis, h=E1bitos de pensamento = desej=E1veis. Este=20 objectivo precisa certamente de maior explica=E7=E3o (todo o meu = trabalho pode=20 ser encarado como uma maior explica=E7=E3o) mas neste caso vai ser = suficiente=20 enfatizar apenas dois aspectos.=20

Primeiro,=20 o pensamento com que estamos preocupados n=E3o =E9 o divagar = quotidiano, mas=20 um "pensamento com um objectivo" ou um "pensamento volunt=E1rio" = (William=20 James) ou "pensamento produtivo" (Max Wertheimer). Tais formas de=20 "pensamento" podem ser identificadas, pelo menos numa primeira = abordagem,=20 com a "resolu=E7=E3o de exerc=EDcios". Em qualquer caso um dos = principais=20 objectivos do curr=EDculo da matem=E1tica no secund=E1rio =E9, na = minha opini=E3o, o=20 desenvolvimento da capacidade dos alunos para resolver=20 problemas.=20

Segundo,=20 o pensamento matem=E1tico n=E3o =E9 puramente "formal", n=E3o = est=E1 relacionado=20 apenas com axiomas, defini=E7=F5es e demonstra=E7=F5es r=EDgidas, = mas tamb=E9m com=20 muitas outras coisas: generaliza=E7=E3o a partir de casos = observados,=20 argumenta=E7=E3o por indu=E7=E3o, argumenta=E7=E3o por analogia, = reconhecimento de=20 conceitos matem=E1ticos, ou sua extrac=E7=E3o a partir de = situa=E7=F5es concretas. O=20 professor de matem=E1tica tem uma excelente oportunidade para dar = a conhecer=20 aos seus alunos estes important=EDssimos processos de pensamento=20 "informais". O que quero dizer =E9 que deve utilizar esta = oportunidade=20 melhor, muito melhor, do que se faz hoje em dia. Dito de forma = incompleta=20 mas concisa: deixem os professores ensinar demonstrando, mas = deixem-nos=20 tamb=E9m ensinar adivinhando.=20

3.=20 Ensinar =E9 uma arte

= Ensinar n=E3o =E9=20 uma ci=EAncia mas uma arte. Esta ideia j=E1 foi expressa por = tantas pessoas,=20 tantas vezes, que me sinto at=E9 envergonhado por a repetir. = Contudo, se=20 deixarmos uma certa generalidade e observarmos, sob uma = perspectiva=20 instrutiva, alguns pormenores apropriados, apercebemo-nos de = alguns=20 truques.

Ensinar=20 tem obviamente muita coisa em comum com a arte teatral. Por = exemplo,=20 imaginemos que um professor tem de apresentar =E0 sua turma uma = demonstra=E7=E3o=20 que conhece ao pormenor por j=E1 a ter apresentado diversas vezes = em anos=20 anteriores no mesmo curso. Na realidade, pode at=E9 nem estar = entusiasmado=20 com a demonstra=E7=E3o. Mas, por favor, n=E3o mostre isso =E0 sua = turma! Se=20 parecer aborrecido, a turma inteira vai ficar aborrecida. Finja = estar=20 entusiasmado com a demonstra=E7=E3o quando come=E7ar. Finja ter = ideias=20 brilhantes no seu desenvolvimento. Finja estar surpreendido e = exultante=20 quando a demonstra=E7=E3o terminar. O professor deve representar = um pouco para=20 bem dos seus alunos que, em alguns casos, poder=E3o aprender mais = atrav=E9s=20 das suas atitudes do que atrav=E9s do conte=FAdo=20 apresentado.
Devo confessar que sinto prazer = num=20 pouco de representa=E7=E3o, especialmente agora que estou velho e = raramente=20 encontro algo novo em matem=E1tica. Sinto alguma satisfa=E7=E3o em = reconstituir=20 a forma como descobri no passado este ou aquele = aspecto.

Embora de=20 forma menos =F3bvia, ensinar tem tamb=E9m algo em comum com a = m=FAsica. Sabem=20 com certeza que os professores n=E3o devem dizer uma coisa apenas = uma ou=20 duas vezes, mas tr=EAs, quatro ou mais vezes. Por=E9m, repetir a = mesma frase=20 v=E1rias vezes sem pausas ou altera=E7=F5es pode ser terrivelmente = aborrecido e=20 anular a pr=F3pria inten=E7=E3o. Ora, o professor pode aprender = com os=20 compositores a faz=EA-lo melhor. Uma das principais formas de arte = musical =E9=20 "ar com varia=E7=F5es". Transpondo esta forma da m=FAsica para o = ensino, faz com=20 que se diga uma frase da forma mais simples e que depois se repita = com uma=20 pequena altera=E7=E3o; depois torna-se a repeti-la com um pouco = mais de cor, e=20 assim sucessivamente, pode finalizar-se retornando =E0 = formula=E7=E3o original=20 simples. Outra forma de arte musical =E9 o "rondo". Transpondo o = "rondo" da=20 m=FAsica para o ensino, repetir-se-ia a mesma frase essencial = v=E1rias vezes=20 com poucas ou nenhumas altera=E7=F5es, mas inserindo entre duas = repeti=E7=F5es=20 algum material ilustrativo que provoque um contraste apropriado. = Espero=20 que quando ouvir da pr=F3xima vez um tema de Beethoven com = varia=E7=F5es ou um=20 "rondo" de Mozart pense em melhorar o seu ensino.

O ensino=20 pode tamb=E9m ter algumas semelhan=E7as com a poesia e, de vez em = quando,=20 aproximar-se da profana=E7=E3o. Posso contar-vos uma pequena = hist=F3ria sobre o=20 grande Einstein? Ouvi uma vez Einstein falar para um grupo de = f=EDsicos numa=20 festa. "Porque =E9 que os electr=F5es t=EAm todos a mesma carga?" = disse ele.=20 "Bem, porque =E9 que as pequenas bolas dentro do esterco de cabra = t=EAm todas=20 o mesmo tamanho?" Porque ter=E1 Einstein dito tais coisas? S=F3 = para fazer=20 alguns snobes levantar a sobrancelha? N=E3o que ele n=E3o fosse = pessoa para o=20 fazer. Penso que seria. Ainda assim, foi provavelmente mais = profundo. N=E3o=20 me parece que o coment=E1rio de Einstein seja casual. De qualquer = forma,=20 aprendi com ele que, embora as abstrac=E7=F5es sejam importantes, = devemos usar=20 todos os meios para as tornar mais tang=EDveis. Nada =E9 demasiado = bom ou=20 demasiado mau, demasiado po=E9tico ou demasiado trivial para = clarificar as=20 nossas abstrac=E7=F5es. Como refere Montaigne: A verdade =E9 uma = coisa t=E3o=20 grandiosa que n=E3o devemos desdenhar nenhum meio que nos conduza = a ela.=20 Portanto, n=E3o se deixe inibir se o seu esp=EDrito o levar a, nas = suas aulas,=20 ser um pouco po=E9tico ou um pouco profano.

4. Tr=EAs = princ=EDpios de=20 aprendizagem=20

=20

= Ensinar =E9 um=20 processo que tem in=FAmeros pequenos truques. Cada bom professor = tem os seus=20 estratagemas preferidos e cada bom professor =E9 diferente de = qualquer outro=20 professor.
Qualquer estratagema eficiente = para=20 ensinar deve estar correlacionado de alguma maneira com a natureza = do=20 processo de aprendizagem. N=E3o sabemos muito acerca do processo = de=20 aprendizagem. Mas um ainda que rude esbo=E7o de algumas das suas = mais =F3bvias=20 caracter=EDsticas pode la=E7ar alguma luz, que seria bem vinda, = sobre os=20 truques da nossa profiss=E3o. Deixem-me desenhar esse tal esbo=E7o = na forma de=20 tr=EAs "princ=EDpios" de aprendizagem.

A = formula=E7=E3o=20 e combina=E7=E3o desses prionc=EDpios =E9 da minha = responsabilidade, mas os=20 "princ=EDpios", em si mesmos, n=E3o s=E3o de modo algum novos. = T=EAm sido=20 afirmados e reafirmados de v=E1rias formas, derivam da = experi=EAncia de muitos=20 anos, foram aprovados pelo parecer de grandes homens e sugeridos = pelos=20 estudos da psicologia da aprendizagem.Estes "princ=EDpios de = aprendizagem"=20 tamb=E9m podem ser considerados como "princ=EDpios de ensino" e = esta =E9 a=20 principal raz=E3o para os ter aqui em conta.

(1)=20 Aprendizagem activa.

    = J=E1 foi dito=20 por muitas pessoas e das mais variadas formas que a aprendizagem = deve ser=20 activa, n=E3o meramente passiva ou receptiva. Dificilmente se = consegue=20 aprender alguma coisa, e certamente n=E3o se consegue = aprender muito,=20 simplesmente por ler livros, ouvir palestras ou assistir a filmes, = sem=20 adicionar nenhuma ac=E7=E3o intelectual.
    Uma = outra=20 opini=E3o frequentemente expressa (e minuciosamente descrita): = A melhor=20 forma de aprender alguma coisa =E9 descobri-la por si = pr=F3prio.=20 Lichtenberg (f=EDsico alem=E3o do s=E9c. XVIII, mais conhecido = como escritor de=20 aforismos) acrescenta um aspecto importante: Aquilo que se =E9 = obrigado a=20 descobrir por si pr=F3prio deixa um caminho na mente que se pode = percorrer=20 novamente sempre que se tiver necessidade. Menos = colorida, mas=20 talvez mais abrangente, =E9 a formula=E7=E3o seguinte: Para uma = aprendizagem=20 eficiente, o aprendiz deve descobrir por si pr=F3prio tanto quanto = for=20 poss=EDvel do conte=FAdo a aprender, tendo em conta as=20 circunst=E2ncias.
    Este =E9 o princ=EDpio = da=20 aprendizagem activa (Arbeitsprinzip). Princ=EDpio muito antigo que = tem por=20 detr=E1s nada menos que o "m=E9todo Socr=E1tico".

(2) Melhor=20 motiva=E7=E3o.

    A = aprendizagem deve ser activa, como j=E1 dissemos. Mas o aprendiz = n=E3o agir=E1=20 se n=E3o tiver motivos para agir. Tem de ser induzido a agir = atrav=E9s de=20 est=EDmulos, por exemplo, atrav=E9s da esperan=E7a de obter alguma = recompensa. O=20 interesse pelo conte=FAdo da aprendizagem devia ser o melhor = est=EDmulo para a=20 aprendizagem e o prazer da intensiva actividade mental devia ser a = melhor=20 recompensa para tal actividade. Por=E9m, quando n=E3o podemos = obter o melhor=20 devemos tentar obter o segundo melhor, ou o terceiro melhor, = raz=E3o pela=20 qual n=E3o devemos esquecer motivos da aprendizagem menos=20 intr=EDnsecos.
    Para uma = aprendizagem=20 eficiente, o aprendiz devia estar interessado nos conte=FAdos a = aprender e=20 sentir prazer na actividade da aprendizagem. Mas, al=E9m destes = bons motivos=20 para aprender, existem outros motivos, alguns desej=E1veis. = (Puni=E7=E3o por=20 n=E3o aprender =E9, possivelmente, o motivo menos=20 desej=E1vel).
    Deixem-me chamar a esta = afirma=E7=E3o=20 princ=EDpio da melhor motiva=E7=E3o.

(3) Fases=20 consecutivas.

    = Permitam-me=20 que comece por uma frase frequentemente citada de Kant: "Todos = os=20 conhecimentos humanos come=E7am por intui=E7=F5es, avan=E7am para = concep=E7=F5es e=20 terminam com ideias". A tradu=E7=E3o inglesa de Kant usa os = termos=20 "cognition, intuition, idea". N=E3o sou capaz (quem =E9?) de dizer = em que=20 sentido exacto Kant pretendia usar estes termos. Mas permitam-me = que=20 apresente a minha interpreta=E7=E3o do "dictum" de Kant: = Aprender=20 come=E7a por uma ac=E7=E3o e uma percep=E7=E3o, avan=E7a da=ED = para palavras e=20 conceitos, e devia acabar em h=E1bitos de pensamento=20 desej=E1veis.
    Para come=E7ar pense, por = favor, em=20 significados para os conceitos desta frase de tal modo que os = consiga=20 ilustrar concretamente com base na sua pr=F3pria experi=EAncia. = (Induzi-lo a=20 pensar acerca da sua experi=EAncia pessoal =E9 uma das = consequ=EAncias=20 desejadas). "Aprendizagem" recorda-lhe uma turma consigo, quer = como aluno,=20 quer como professor. "Ac=E7=E3o e percep=E7=E3o" sugerem = manipula=E7=E3o e observa=E7=E3o=20 de coisas concretas como seixos ou ma=E7=E3s; ou r=E9gua e = compasso; ou=20 instrumentos laboratoriais; e por a=ED = adiante.
    Tal=20 interpreta=E7=E3o dos conceitos pode tornar-se mais f=E1cil ou = mais natural=20 quando pensamos em materiais simples e elementares. Por=E9m, algum = tempo=20 depois, podemos aperceber-nos de fases similares no trabalho = despendido a=20 dominar materiais mais complexos, mais avan=E7ados. Deixem-me = distinguir=20 tr=EAs fases: explora=E7=E3o, formaliza=E7=E3o e=20 assimila=E7=E3o.
    A primeira fase, a da=20 explora=E7=E3o, est=E1 mais pr=F3xima da ac=E7=E3o e da = percep=E7=E3o e=20 desenrola-se a n=EDvel mais intuitivo, mais=20 heur=EDstico.
    A segunda fase, a da=20 formaliza=E7=E3o, ascende a um n=EDvel mais conceptual, = introduzindo=20 terminologia, defini=E7=F5es, = demonstra=E7=F5es.
    A fase de=20 assimila=E7=E3o vem por =FAltimo: ela implica a tentativa = para perceber a=20 "ess=EAncia" das coisas. O conte=FAdo aprendido deve ser digerido = mentalmente,=20 absorvido no sistema do conhecimento, em todo o sistema mental do=20 aprendiz. Esta fase, por um lado, prepara o caminho para as = aplica=E7=F5es e,=20 por outro, para generaliza=E7=F5es maiores.
    = Deixem-me=20 fazer um sum=E1rio: para uma aprendizagem eficiente, uma fase=20 explorat=F3ria deve preceder a fase de verbaliza=E7=E3o e = forma=E7=E3o de conceitos=20 e, eventualmente, o conte=FAdo aprendido deve fundir-se e = contribuir para a=20 atitude mental essencial do aprendiz.
    = Este =E9 o=20 princ=EDpio das fases consecutivas.

=20

5. Tr=EAs=20 princ=EDpios do ensino

O = professor=20 deve conhecer estas formas de aprendizagem. Deve evitar as formas=20 ineficazes e aproveitar as formas eficazes. Deste modo, pode dar = bom uso=20 aos tr=EAs princ=EDpios que acab=E1mos de analisar: o princ=EDpio = da aprendizagem=20 activa, o princ=EDpio da melhor motiva=E7=E3o, e o princ=EDpio das = fases=20 consecutivas. Como vimos, estes princ=EDpios da aprendizagem s=E3o = tamb=E9m=20 princ=EDpios do ensino. Existe, contudo, uma condi=E7=E3o: para = tirar proveito=20 de um determinado princ=EDpio, o professor n=E3o deve apenas = conhec=EA-lo por=20 ouvir dizer. Deve entend=EA-lo intimamente, com base na sua = importante=20 experi=EAncia pessoal.

(1) = Aprendizagem=20 activa.

    O = que o=20 professor diz na sala de aula n=E3o =E9 de forma alguma pouco = importante. Mas,=20 o que os alunos pensam =E9 mil vezes mais importante. As ideias = deviam=20 nascer na mente dos alunos e o professor devia agir apenas como = uma=20 parteira.
    Este =E9 o cl=E1ssico preceito = Socr=E1tico e a=20 forma de ensino que a ele melhor se adapta =E9 o di=E1logo = Socr=E1tico. O=20 professor do secund=E1rio tem definitivamente uma vantagem em = rela=E7=E3o ao=20 professor universit=E1rio na medida em que pode usar o di=E1logo = mais=20 extensivamente. Infelizmente, mesmo no secund=E1rio, o tempo =E9 = limitado e=20 existem conte=FAdos pr=E9-estabelecidos para leccionar. Portanto, = nem todos os=20 assuntos podem ser discutidos atrav=E9s do di=E1logo. Contudo, o = princ=EDpio =E9=20 este: deixar os alunos descobrir por si pr=F3prios tanto quanto = for=20 poss=EDvel.
    Tenho a certeza que =E9 = poss=EDvel fazer=20 muito mais do que normalmente se faz. Deixem-me recomendar-vos um = pequeno=20 truque pr=E1tico: deixem os alunos contribuir activamente para = a=20 formula=E7=E3o do problema que eles ter=E3o de resolver = posteriormente. Se=20 os alunos tiverem participado na formula=E7=E3o do problema, = ir=E3o depois=20 trabalh=E1-lo mais activamente.
    De facto, no = trabalho=20 de um cientista, a formula=E7=E3o de um problema pode ser a melhor = parte da=20 descoberta. Frequentemente, a solu=E7=E3o exige menos genialidade = e=20 originalidade que a formula=E7=E3o. Assim, permitindo que os = alunos participem=20 na formula=E7=E3o, o professor n=E3o vai estar apenas a = motiv=E1-los para se=20 esfor=E7arem mais mas vai ensinar-lhes uma desej=E1vel atitude de=20 pensamento.

(2) Melhor=20 motiva=E7=E3o

    O = professor=20 deve olhar para si como um comerciante: o seu objectivo =E9 vender = alguma=20 matem=E1tica aos mais novos. Se o comerciante se depara com = resist=EAncia por=20 parte dos seus clientes ou mesmo se eles se recusarem a comprar, = n=E3o deve=20 o comerciante atirar a culpa toda para cima dos clientes. = Lembre-se! O=20 cliente tem sempre raz=E3o por princ=EDpio, e =E0s vezes tem mesmo = raz=E3o na=20 pr=E1tica. O rapaz que recusa aprender matem=E1tica pode estar = correcto. Pode=20 n=E3o ser pregui=E7oso nem est=FApido, apenas mais interessado = noutra coisa=20 qualquer - h=E1 tantas coisas interessantes no mundo =E1 nossa = volta. =C9 dever=20 do professor, como comerciante de conhecimentos, convencer o aluno = de que=20 a matem=E1tica =E9 interessante, que o aspecto em discuss=E3o =E9 = interessante,=20 que o problema que =E9 suposto resolver merece o seu=20 esfor=E7o.
    Portanto, o professor deve = prestar aten=E7=E3o=20 na escolha, na formula=E7=E3o e na apresenta=E7=E3o adequada do = problema que quer=20 propor. O problema deve ter sentido e deve ser relevante do ponto = de vista=20 do aluno; deve estar relacionado, se poss=EDvel, com as = experi=EAncias di=E1rias=20 dos alunos, e deve ser introduzido atrav=E9s de uma brincadeira ou = de um=20 paradoxo. O problema deve ainda partir de conhecimentos muito=20 familiares.Deve conter, se poss=EDvel, um aspecto de interesse = geral ou=20 eventual uso pr=E1tico. Se desejarmos estimular o aluno a = esfor=E7ar-se,=20 devemos dar-lhe algum motivo para ele suspeitar que a tarefa = merece o seu=20 esfor=E7o.
    A melhor motiva=E7=E3o =E9 o = interesse do aluno=20 na tarefa. Mas existem outras motiva=E7=F5es que n=E3o devem ser = negligenciadas.=20 Deixem-me recomendar um pequeno truque pr=E1tico: antes dos alunos = resolverem um problema, permitam-lhes adivinhar o resultado, ou = parte=20 dele. O rapaz que exprimir uma opini=E3o compromete-se; o seu = prest=EDgio e=20 auto-estima dependem um pouco do resultado. Vai estar impaciente = para=20 saber se o seu palpite est=E1 certo ou n=E3o e, portanto, vai = estar=20 extremamente interessado na sua tarefa e no trabalho da turma. = N=E3o ir=E1=20 adormecer ou portar-se mal.
De facto, no trabalho de um = cientista, o=20 palpite quase sempre precede a prova. Assim, ao deixar os alunos = advinhar=20 o resultado, n=E3o vai estar apenas a motiv=E1-los para se = esfor=E7arem mais.=20 Vai ensin=E1-los a ter uma atitude de pensamento = desej=E1vel.

(3) Fases=20 consecutivas

    A = dificuldade=20 com os problemas nos manuais do secund=E1rio =E9 que estes = cont=E9m quase=20 exclusivamente meros exemplos de rotina. Um exemplo de rotina =E9 = um exemplo=20 de curto alcance que ilustra, e permite praticar, as = aplica=E7=F5es de apenas=20 uma regra isolada. Tais exemplos de rotina podem ser =FAteis e = at=E9=20 necess=E1rios. N=E3o nego. Mas saltam duas importantes fases da = aprendizagem:=20 a fase explorat=F3ria e a fase de assimila=E7=E3o. Estas duas = fases procuram=20 relacionar o problema em causa com o mundo =E0 nossa volta e com = outros=20 conhecimentos, a primeira antes e a segunda depois da solu=E7=E3o = formal.=20 Por=E9m, o problema de rotina est=E1 obviamente relacionado com a = regra que=20 ilustra e pouco relacionado com quaisquer outras coisas. Por isso = h=E1 pouco=20 interesse em procurar mais conex=F5es.
    Em = contraste=20 com estes problemas de rotina, a escola secund=E1ria devia propor = problemas=20 mais estimulantes, pelo menos de vez em quando, problemas com = contextos=20 ricos que mere=E7am mais explora=E7=F5es e problemas que possam = dar a ideia do=20 trabalho de um cientista.
    Aqui est=E1 uma = dica=20 pr=E1tica: se o problema que quer discutir com os seus alunos for = adequado,=20 deixe-os fazer uma explora=E7=E3o preliminar: pode abrir o seu = apetite para a=20 solu=E7=E3o formal. E reserve algum tempo para uma discuss=E3o = retrospectiva=20 acerca da solu=E7=E3o final: pode ajudar na solu=E7=E3o de = problemas=20 posteriores.

(4) Ap=F3s=20 esta discuss=E3o bastante incompleta, devo terminar a = explica=E7=E3o dos tr=EAs=20 princ=EDpios: aprendizagem activa, melhor motiva=E7=E3o e fases=20 consecutivas.

Acho que estes = princ=EDpios podem=20 infiltrar-se nos pormenores do trabalho di=E1rio de um professor e = fazer=20 dele um professor melhor. Tamb=E9m acho que estes princ=EDpios = deviam=20 infiltrar-se na planifica=E7=E3o de todo o curriculum, de cada = curso do=20 curriculum e de cada cap=EDtulo de cada = curso.
=20 Contudo, longe de mim dizer que estes princ=EDpios t=EAm que ser = aceites.=20 Estes princ=EDpios partiram de uma certa vis=E3o global, de uma = certa=20 filosofia. E o leitor pode ter uma filosofia diferente. Ora, tanto = no=20 ensino como em tantas outras coisas, n=E3o interessa muito qual = =E9 ou n=E3o =E9 a=20 sua filosofia. Interessa mais se tem ou n=E3o uma filosofia. E = interessa=20 muito tentar ou n=E3o seguir a sua filosofia. Os =FAnicos = princ=EDpios do ensino=20 que eu n=E3o gosto de forma alguma s=E3o aqueles que nos limitamos = a=20 papaguear.

6.=20 Exemplos

= Os exemplos=20 s=E3o melhores que as regras. Deixem-me dar exemplos. Prefiro sem = d=FAvida=20 exemplos a conversas.

=20

= Preocupa-me=20 principalmente o ensino ao n=EDvel do secund=E1rio e vou = apresentar-vos alguns=20 exemplos relativos a esse n=EDvel de ensino. Frequentemente sinto = grande=20 satisfa=E7=E3o nos exemplos a este n=EDvel. E posso dizer = porqu=EA: tento=20 encar=E1-los de forma a que me recordem a minha experi=EAncia = matem=E1tica.=20 Represento o meu passado a uma escala reduzida.

=20

(1) Um problema do ensino b=E1sico -=20 A forma de arte = fundamental do=20 ensino =E9 o di=E1logo Socr=E1tico. Numa turma de ensino b=E1sico = talvez o=20 professor possa come=E7ar assim o di=E1logo:
"Ao meio-dia em S. = Francisco=20 que horas s=E3o?"
"Mas, professor, todos n=F3s sabemos isso" = pode dizer um=20 jovem activo, ou ent=E3o "Mas, professor, voc=EA =E9 tonto: 12 = horas"
"E em=20 Sacramento, ao meio-dia, que horas s=E3o?"
"12 horas - claro, = n=E3o =E9=20 meia-noite"
"E em Nova Iorque, ao meio-dia, que horas = s=E3o?"
"12=20 horas"
"Mas eu pensava que em S. Francisco e Nova Iorque o = meio-dia=20 n=E3o era =E0 mesma hora, e voc=EAs dizem que =E9 meio-dia em = ambos =E0s 12=20 horas!"

"Bem, =E9 meio-dia = em S. Francisco=20 =E0s 12 horas segundo o padr=E3o hor=E1rio de Oeste e em Nova = Iorque =E0s 12 horas=20 segundo o padr=E3o hor=E1rio de Este."
" E em que padr=E3o = hor=E1rio se=20 encontra Sacramento, Este ou Oeste?"
"Oeste, de = certeza"
"As=20 pessoas de S. Francisco e de Sacramento t=EAm o meio-dia no mesmo=20 momento?"
"N=E3o sabem a resposta? Bem, tentem advinhar: ser=E1 = que o=20 meio-dia =E9 mais cedo em S. Francisco, ou em Sacramento, ou = ser=E1 que =E9 no=20 mesmo instante nos dois s=EDtios?"

O que=20 acham da minha ideia de di=E1logo Socr=E1tico com mi=FAdos do = ensino b=E1sico?=20 Podem imaginar o resto. Atrav=E9s de quest=F5es apropriadas, o = professor,=20 imitando S=F3crates, deve extrair diversos elementos dos = alunos:
a) Temos=20 de distinguir entre meio-dia "astron=F3mico" e meio-dia = convencional ou=20 "legal".
b) Defini=E7=F5es para os dois meios-dias.
c) = Perceber "padr=E3o=20 hor=E1rio": como e porqu=EA a superf=EDcie do globo terrestre = est=E1 subdividida=20 em zonas de tempo?
d) Formula=E7=E3o do problema: "A que horas = do padr=E3o=20 hor=E1rio do Oeste =E9 o meio-dia astron=F3mico de S. = Francisco?"
e) O =FAnico=20 dado espec=EDfico que precisamos para resolver o problema =E9 a = longitude de=20 S. Francisco (=E9 uma boa aproxima=E7=E3o para o ensino = b=E1sico).

O = problema=20 n=E3o =E9 muito simples. Utilizei-o em duas turmas e, em ambas, os = participantes eram professores do secund=E1rio. Uma turma demorou = cerca de=20 25 minutos para chegar =E0 solu=E7=E3o, a outra demorou 35=20 minutos.

(2)Devo dizer que este pequeno = problema=20 do ensino b=E1sico tem v=E1rias vantagens - A = principal =E9 o facto=20 de enfatizar uma opera=E7=E3o mental essencial que,infelizmente, = =E9=20 negligenciada pelos problemas usuais dos manuais: reconhecer o = conceito=20 matem=E1tico essencial numa situa=E7=E3o = concreta.

    = Para resolver=20 este problema, os alunos devem reconhecer a = proporcionalidade: as=20 horas numa localidade na superf=EDcie do globo terrestre quando o = sol est=E1=20 na posi=E7=E3o mais vertical variam proporcionalmente com a = longitude=20 da localidade.
    De facto, em compara=E7=E3o = com os=20 dolorosos e artificiais problemas nos manuais no secund=E1rio, o = nosso=20 problema =E9 perfeitamente natural, um "verdadeiro" problema. Nos = problemas=20 mais dif=EDceis da matem=E1tica aplicada, a formula=E7=E3o = apropriada do problema=20 =E9 sempre uma parte complicada e, com grande frequ=EAncia, a = parte mais=20 importante. O nosso pequeno problema, que pode ser proposto a uma = turma do=20 ensino b=E1sico, possui precisamente esta caracter=EDstica. = Novamente, os=20 problemas mais dif=EDceis da matem=E1tica aplicada podem conduzir = a ac=E7=F5es=20 pr=E1ticas, como por exemplo, adoptar um procedimento melhor. O = nosso=20 pequeno problema pode explicar aos alunos do ensino b=E1sico = porque foi=20 adoptado o sistema de 24 zonas hor=E1rias, cada uma com um = padr=E3o hor=E1rio=20 uniformizado. No geral, penso que este problema, se for tratado=20 convenientemente pelo professor, pode ajudar um futuro cientista = ou=20 engenheiro a descobrir a sua voca=E7=E3o e contribuir para a = matura=E7=E3o=20 intelectual daqueles alunos que n=E3o v=E3o mais tarde utilizar=20 profissionalmente a matem=E1tica.
    Observe-se = tamb=E9m=20 que este problema ilustra v=E1rios dos pequenos truques = mencionados=20 anteriormente: os alunos contribuem activamente na formula=E7=E3o = do problema.=20 De facto, a fase explorat=F3ria que conduz =E0 formula=E7=E3o do = problema =E9 muito=20 importante. Depois, os alunos s=E3o convidados a adivinhar um = aspecto=20 essencial da solu=E7=E3o.

    (3) Um problema do ensino = secund=E1rio=20 - = Vamos considerar outro exemplo. Comecemos = por aquele=20 que provavelmente =E9 o problema mais familiar de constru=E7=F5es = geom=E9tricas:=20 construir um tri=E2ngulo, tendo como dados os tr=EAs lados. Como a = analogia =E9=20 um campo t=E3o f=E9rtil de inven=E7=E3o, =E9 natural perguntar: = qual =E9 o problema=20 an=E1logo na geometria a 3 dimens=F5es? Um aluno m=E9dio, que = tenha alguns=20 conhecimentos de geometria tridimensional, pode ser conduzido a = formular o=20 problema: construir um tetraedro, tendo como dados as seis=20 arestas.
    Ora, este problema do tetraedro = aproxima-se=20 bastante, no n=EDvel secund=E1rio comum, dos problemas pr=E1ticos = resol=FAveis por=20 "desenho mec=E2nico". Engenheiros e designers utilizam = desenhos para=20 darem informa=E7=F5es precisas acerca dos pormenores de figuras a = tr=EAs=20 dimens=F5es ou estruturas para serem constru=EDdas: pretendemos = construir um=20 tetraedro com determinadas arestas. Podemos querer, por exemplo,=20 esculpi-lo em madeira.
    Isto leva-nos a = perguntar se=20 o problema deve ser resolvido com precis=E3o, usando r=E9gua e o = compasso, e a=20 discutir a quest=E3o: que pormenores do tetraedro devem ser = constru=EDdos?=20 Eventualmente, ap=F3s uma discuss=E3o na turma bem conduzida, a = seguinte=20 formula=E7=E3o definitiva do problema pode emergir:=20
    Do tetraedro ABCD, s=E3o-nos = dados os=20 comprimentos das seis arestas AB, BC, CA, AD, BD, CD.Considera o = tri=E2ngulo=20 ABC como a base do tetraedro e constr=F3i com uma r=E9gua e um = compasso os=20 =E2ngulos que a base forma com as outras tr=EAs=20 faces.
    O conhecimento destes =E2ngulos = =E9=20 necess=E1rio para esculpir em madeira o s=F3lido desejado. = Por=E9m, outros=20 elementos do tetraedro podem surgir na discuss=E3o. Por = exemplo:
a) a=20 altura do v=E9rtice D =E0 base,
b) o ponto F sendo este o ponto = de=20 projec=E7=E3o do v=E9rtice D na base. Note-se que a) e b), que contribuem para o = conhecimento do s=F3lido, podem ajudar a encontrar os =E2ngulos = pedidos e, por=20 isso, pod=EDamos tamb=E9m tentar constru=ED-los.

=20 (4) Podemos obviamente, construir as quatro faces triangulares que = est=E3o=20 representadas na Fig.1 (pequenas = por=E7=F5es=20 de alguns c=EDrculos usados na constru=E7=E3o foram preservadas = para indicar que=20 AD2=3DAD3, BD3=3DBD1, CD1=3DCD2). = Se a Fig.1 for copiada para cart=E3o podemos=20 acrescentar-lhe tr=EAs patilhas, cortar a figura, dobr=E1-la ao = longo de tr=EAs=20 linhas, e colar as patilhas. Desta maneira obtemos um modelo = s=F3lido no=20 qual podemos medir rudemente a altura e os =E2ngulos em quest=E3o. = Este tipo=20 de trabalho em cart=E3o =E9 bastante sugestivo mas n=E3o = corresponde ao que nos=20 foi pedido: construir a altura, o seu ponto na base (F), e os = =E2ngulos em=20 quest=E3o com r=E9gua e compasso.

(5) = Pode ajudar pensar no problema ou parte dele = "como=20 resolvido". Vamos = visualizar=20 o aspecto da Fig.1 quando as tr=EAs faces laterais forem erguidas = para a sua=20 devida posi=E7=E3o, ap=F3s cada uma ter sofrido uma rota=E7=E3o em = rela=E7=E3o a um lado=20 da base. A Fig.2 mostra a projec=E7=E3o ortogonal do tetraedro no = plano da sua=20 base, tri=E2ngulo ABC. O ponto F =E9 a projec=E7=E3o do v=E9rtice = D: =E9 a base da=20 altura desenhada a partir de D.

(6) Podemos=20 visualizar a transi=E7=E3o da Fig.1 para a Fig.2 com ou sem o = modelo em=20 cart=E3o. =20 Vamos focar a aten=E7=E3o numa das faces laterais, no tri=E2ngulo = BCD1, que=20 originalmente estava no mesmo plano que o tri=E2ngulo ABC, no = plano da Fig.1=20 que imaginamos horizontal. Vamos observar o tri=E2ngulo BCD1 a = efectuar uma=20 rota=E7=E3o em torno do lado BC, e fixemos o nosso olhar no = =FAnico v=E9rtice em=20 movimento D1. Este v=E9rtice D1 descreve um arco de = circunfer=EAncia. O centro=20 da circunfer=EAncia =E9 um ponto de BC; o plano deste c=EDrculo = =E9 perpendicular=20 ao eixo de revolu=E7=E3o horizontal BC; al=E9m disso, D1 = movimenta-se num plano=20 vertical. Portanto, a projec=E7=E3o do percurso do v=E9rtice em = movimento D1=20 para o plano horizontal da Fig.1 =E9 uma linha recta, = perpendicular a BC,=20 que passa pela posi=E7=E3o original de D1.Mas existem mais dois = tri=E2ngulos a=20 efectuar rota=E7=F5es, s=E3o tr=EAs ao todo. Existem tr=EAs = v=E9rtices em movimento,=20 cada um seguindo um caminho circular num plano vertical para que = destino?=20

(7) Penso que o leitor j=E1 = adivinhou o=20 resultado (talvez at=E9 antes de ler o fim da subsec=E7=E3o = anterior):=20 as tr=EAs linhas rectas = desenhadas a=20 partir das posi=E7=F5es originais (ver Fig.1) de D1, D2, e D3 = perpendiculares=20 a BC, CA e AB, respectivamente, intersectam-se num ponto, o ponto = F, o=20 nosso objectivo suplementar (b), ver Fig.3. (=C9 suficiente = desenhar duas=20 perpendiculares para determinar F, mas podemos usar a terceira = para=20 verificar a precis=E3o do nosso desenho). E o que resta fazer =E9 = muito f=E1cil.=20 Seja M o ponto de intersec=E7=E3o de D1F com BC (ver Fig.3). = Construa o=20 tri=E2ngulo rect=E2ngulo FMD (ver Fig.4), com hipotenusa MD=3DMD1 = e base MF.=20 Obviamente, FD =E9 a altura [o nosso objectivo suplementar a)] e = =E2ngulo FMD=20 mede o =E2ngulo diedral formado pela base, o tri=E2ngulo ABC, e a = face=20 lateral, o tri=E2ngulo DBC que era pedido no nosso=20 problema.

(8) Uma das=20 virtudes de um bom problema =E9 que gera outros bons = problemas.A=20 solu=E7=E3o anterior pode, e deve, deixar uma d=FAvida no seu = esp=EDrito.=20 Encontr=E1mos o resultado representado pela Fig.3 (que as tr=EAs=20 perpendiculares descritas acima s=E3o concorrentes) tendo em = considera=E7=E3o a=20 movimenta=E7=E3o de corpos em rota=E7=E3o. No entanto o resultado = =E9 uma proposi=E7=E3o=20 de geometria e portanto devia ser estabelecida independentemente = da no=E7=E3o=20 de movimento, atrav=E9s apenas da geometria. Agora =E9 = relativamente f=E1cil=20 libertarmo-nos das considera=E7=F5es anteriores [nas = subsec=E7=F5es (6) e (7)]=20 acerca dos conceitos de movimento e estabelecer o resultado = atrav=E9s de=20 conceitos de geometria tridimensional (intersec=E7=E3o de esferas, = projec=E7=E3o=20 ortogonal). No entanto, o resultado =E9 uma proposi=E7=E3o de = geometria no plano=20 e portanto devia ser estabelecido independentemente da no=E7=E3o = de movimento,=20 atrav=E9s apenas da geometria. (Como?).

(9)NOte que=20 este problema do ensino secund=E1rio ilustra v=E1rios aspectos = anteriormente=20 discutidos. Por exemplo, os alunos podiam e deviam = participar na=20 formula=E7=E3o final do problema, existe uma fase explorat=F3ria e = um rico=20 contexto.Contudo h=E1 um aspecto que quero enfatizar: o problema = est=E1=20 constru=EDdo para merecer a aten=E7=E3o dos alunos. Embora o = problema n=E3o esteja=20 muito pr=F3ximo da realidade di=E1ria como o problema do ensino = b=E1sico, come=E7a=20 por uma parcela de conhecimento bastante familiar (constru=E7=E3o = de um=20 tri=E2ngulo atrav=E9s dos tr=EAs lados), real=E7a desde o in=EDcio = uma ideia de=20 interesse geral (analogia), e aponta para eventuais aplica=E7=F5es = pr=E1ticas=20 (desenho mec=E2nico). Com um pouco de destreza e um pouco de = vontade, o=20 professor devia ser capaz de captar a aten=E7=E3o dos alunos, que = n=E3o est=E3o=20 irremediavelmente aborrecidos, para este problema.

7. Aprender ensinando=20

= H=E1=20 ainda um t=F3pico para = discutir e =E9=20 um t=F3pico relevante: a forma=E7=E3o de professores. Assumo uma = posi=E7=E3o=20 confort=E1vel ao discutir este tema, pois quase posso concordar = com a=20 posi=E7=E3o oficial (refiro-me =E0s =93Recomenda=E7=F5es da = Associa=E7=E3o Americana de=20 Matem=E1tica=94 no que diz respeito =E0 forma=E7=E3o de = professores, publicada na=20 American Mathematical Monthly, 67 (1960) 982-991. Por quest=F5es = de=20 brevidade, tomo a liberdade de citar este documento como = =93recomenda=E7=F5es=20 oficiais=94). Irei concentrar-me em apenas dois pontos. Pontos aos = quais=20 devotei, no passado e praticamente durante os =FAltimos dez anos, = grande=20 parte da minha reflex=E3o e do meu trabalho enquanto = professor.Fazendo uma=20 aproxima=E7=E3o, dos dois pontos que tenho em mente um diz = respeito aos cursos=20 =93tem=E1ticos=94 e o outro aos cursos sobre = =93m=E9todos=94.=20

    (1) Cursos Tem=E1ticos. =C9 um facto triste = mas amplamente=20 visto e reconhecido, que os conhecimentos dos nossos professores = de=20 matem=E1tica sobre a sua ci=EAncia, em escolas secund=E1rias =E9, = em m=E9dia,=20 insuficiente. Existem, certamente alguns professores bem = preparados, mas=20 existem outros (encontrei-me com diversos), cuja boa vontade = admiro, mas=20 cuja prepara=E7=E3o matem=E1tica n=E3o =E9 de todo admir=E1vel. As = =93recomenda=E7=F5es=20 oficiais=94 para os cursos tem=E1ticos podem n=E3o ser perfeitas, = mas n=E3o h=E1=20 d=FAvida que a sua aceita=E7=E3o resultaria numa melhoria = substancial. Pretendo=20 chamar a vossa aten=E7=E3o para um ponto que, a meu ver, deveria = ser=20 acrescentado =E0s =93recomenda=E7=F5es = oficiais=94.
    O nosso=20 conhecimento acerca de qualquer assunto consiste em informa=E7=E3o = e saber1. O saber =E9 a habilidade para usar a = informa=E7=E3o. Claro=20 que n=E3o existe saber sem pensamento independente, originalidade = e=20 criatividade. O saber em matem=E1tica =E9 a habilidade para fazer = problemas,=20 descobrir provas, criticar argumentos, usar linguagem matem=E1tica = com=20 alguma flu=EAncia, reconhecer os conceitos matem=E1ticos em = situa=E7=F5es=20 concretas.
Todos concordamos que, em matem=E1tica, o saber =E9 = mais=20 importante, ou melhor, =E9 muito mais importante do que possuir = informa=E7=E3o.=20 Todos exigem que o ensino secund=E1rio deve fornecer os = estudantes, n=E3o=20 apenas informa=E7=E3o em matem=E1tica, mas com saber, = independ=EAncia,=20 originalidade e criatividade. E, no entanto, quase ningu=E9m pede = que o=20 professor de matem=E1tica possua estas coisas bonitas =96 n=E3o = =E9=20 espantoso?
    As =93recomenda=E7=F5es = oficiais=94 s=E3o=20 silenciosas no que diz respeito ao saber matem=E1tico dos=20 professores.
O estudante de matem=E1tica que trabalha = para um=20 doutoramento, deve fazer pesquisa mas, antes disso, deve ter = encontrado=20 oportunidade para realizar trabalho independente em semin=E1rios = sobre=20 problemas, ou na prepara=E7=E3o da sua tese de mestrado. No = entanto, este tipo=20 de oportunidade n=E3o =E9 oferecida ao futuro professor de = matem=E1tica. Nas=20 =93recomenda=E7=F5es oficiais=94 n=E3o existe qualquer palavra = acerca de uma=20 qualquer esp=E9cie de trabalho independente ou pesquisa. Se, = entretanto, o=20 professor n=E3o tiver tido qualquer experi=EAncia em trabalhos = criativos de=20 algum tipo, como =E9 que vai ser capaz de inspirar, de orientar, = de ajudar=20 ou mesmo de reconhecer a actividade criativa dos seus estudantes? = Um=20 professor que adquiriu o que quer que seja que sabe em = matem=E1tica apenas=20 de forma receptiva dificilmente pode promover o estudo activo dos = seus=20 estudantes. Um professor que nunca teve, em toda a sua vida, uma = ideia=20 brilhante, vai provavelmente repreender, em vez de ajudar, um = estudante=20 que a tenha.
    Na minha opini=E3o, a pior = falta no=20 conhecimento matem=E1tico da m=E9dia dos professores do ensino = secund=E1rio =E9 o=20 facto de n=E3o terem experi=EAncia em trabalhos activos de = matem=E1tica e, desta=20 forma, n=E3o terem real mestria, mesmo no que diz respeito ao = curr=EDculo da=20 escola secund=E1ria que =E9 suposto = ensinarem.
    N=E3o tenho=20 nenhum rem=E9dio milagroso para oferecer mas vou tentar uma coisa. = Tenho=20 vindo a introduzir e a conduzir repetidamente um semin=E1rio sobre = resolu=E7=E3o=20 de problemas para professores. Os problemas apresentados neste = semin=E1rio=20 n=E3o requerem muito conhecimento para al=E9m do n=EDvel do ensino = secund=E1rio,=20 mas requerem algum grau, e por vezes um alto grau, de = concentra=E7=E3o e ju=EDzo=20 independente =96 e a solu=E7=E3o para esses problemas requere = trabalho=20 =93criativo=94. Tenho tentado organizar o meu semin=E1rio para que = os estudantes=20 sejam capazes de utilizar muito do material proposto para as suas = aulas=20 sem grandes altera=E7=F5es, para que possam adquirir alguma = mestria no ensino=20 da matem=E1tica no secund=E1rio e tamb=E9m para que possam ter = algumas=20 oportunidades de praticar o ensino (ensinando-se uns aos outros, = em=20 pequenos grupos).

    (2) Cursos sobre M=E9todos. = Do meu=20 contacto com centenas de professores de matem=E1tica retirei a = impress=E3o de=20 que os cursos sobre =93m=E9todos=94 s=E3o frequentemente recebidos = com verdadeiro=20 entusiasmo. Os cursos mais usuais oferecidos pelos departamentos = de=20 matem=E1tica s=E3o da mesma maneira recebidos pelos professores. = Um professor=20 com quem tive uma conversa aberta sobre estas mat=E9rias encontrou = uma=20 express=E3o pitoresca para um sentimento muito disseminado: =93 O = departamento=20 de matem=E1tica oferece-nos um bife duro que n=E3o conseguimos = mastigar e a=20 escola da educa=E7=E3o uma sopa ligeira sem nenhuma=20 carne=94.
    De facto, devemos por uma vez = assumir alguma=20 coragem e discutir publicamente a quest=E3o: Os cursos sobre = m=E9todos s=E3o de=20 facto =FAteis de alguma maneira? H=E1 mais hip=F3teses de chegar = =E0 resposta=20 certa numa discuss=E3o aberta do que numa aceita=E7=E3o=20 generalizada.
    A quest=E3o envolve quest=F5es = pertinentes=20 em n=FAmero suficiente. Ser=E1 que ensinar =E9 ensin=E1vel? = (Ensinar =E9 uma arte,=20 como muitos de n=F3s pensamos =96 e uma arte =E9 ensin=E1vel?) = Existe alguma coisa=20 que se possa denominar de m=E9todos de ensino? (O que o professor = ensina,=20 nunca =E9 melhor do que o professor =E9; ensinar depende da = personalidade do=20 professor =96 existem tantos m=E9todos bons como existem = professores bons). O=20 tempo permitiu que a forma=E7=E3o de professores se tenha dividido = entre=20 cursos tem=E1ticos, cursos sobre m=E9todos e pr=E1tica de ensino. = Devemos=20 despender menos tempo nos cursos sobre m=E9todos? (muitos pa=EDses = europeus=20 gastam muito menos tempo).
    Espero que = as=20 pessoas mais novas e mais vigorosas que eu pr=F3prio levantem = estas quest=F5es=20 algum dia e as discutam com uma mente aberta e informa=E7=F5es=20 relevantes.
    Falo-vos aqui apenas e acerca da = minha=20 experi=EAncia e apenas das minhas opini=F5es. De facto, j=E1 = respondi de forma=20 impl=EDcita =E0 quest=E3o primordial. Acredito que os cursos sobre = m=E9todos podem=20 ser vantajosos. Na verdade, o que apresentei foi uma amostra de = cursos=20 sobre m=E9todos, ou melhor, um resumo de alguns t=F3picos, os = quais, na minha=20 opini=E3o, devem ser oferecidos cursos sobre m=E9todos aos = professores de=20 matem=E1tica.
    Todas as classes que = leccionei a=20 professores de matem=E1tica deveriam, na sua maioria, ser = entendidas como=20 cursos sobre m=E9todos. A designa=E7=E3o dessas classes mencionava = alguns temas=20 e o tempo era realmente dividido em temas e m=E9todos: talvez nove = d=E9cimos=20 para os temas e um d=E9cimo para os m=E9todos. Sempre que = poss=EDvel, a classe=20 era dirigida sob forma dial=F3gica.=20

=20 Incidentalmente, eram apresentados por mim ou pela audi=EAncia, = algumas=20 observa=E7=F5es metodol=F3gicas. Na verdade, a deriva=E7=E3o de um = facto ou a=20 solu=E7=E3o de um problema era quase regularmente seguida de uma = curta=20 discuss=E3o das suas implica=E7=F5es pedag=F3gicas. =93 Poder=E1 = isto ser utilizado na=20 vossa turma?=94, perguntava eu =E0 audi=EAncia =93 Em que = est=E1dio do curr=EDculo=20 imaginam utiliz=E1-las? Quais os pontos que precisam de especial = cuidado?=20 Como poderiam tentar ultrapassa-los?=94 E quest=F5es desta = natureza=20 (especificadas, de forma apropriada) foram tamb=E9m regularmente = propostas=20 nos exames.
No entanto, o meu trabalho principal era escolher = os=20 problemas (como os dois que aqui apresentei) capazes de ilustrar = de forma=20 clara algum padr=E3o do ensino.

(3) As =93recomenda=E7=F5es = oficiais=94 chamadas=20 cursos sobre =93m=E9todos=94 e cursos sobre o =93estudo do = curr=EDculo=94 n=E3o s=E3o=20 muito eloquentes acerca desses padr=F5es. Na minha = opini=E3o, =E9=20 poss=EDvel contudo encontrar uma excelente recomenda=E7=E3o. Algo = escondido,=20 para cuja descoberta tem que somar dois mais dois combinando a = =FAltima=20 premissa em =93cursos de estudo de curr=EDculo=94 com = recomenda=E7=F5es para o n=EDvel=20 IV. Mas =E9 claramente suficiente: um professor universit=E1rio = que lecciona=20 um curso sobre m=E9todos para professores de matem=E1tica deveria = saber=20 matem=E1tica pelo menos ao n=EDvel de um mestrado. Gostaria de = acrescentar:=20 deveria tamb=E9m ter alguma experi=EAncia, mesmo que modesta, de = investiga=E7=E3o=20 em matem=E1tica. Se n=E3o tiver tal experi=EAncia como poder=E1 = convir que o mais=20 importante para um futuro professor =E9, o esp=EDrito de trabalho=20 criativo?
At=E9 agora ouviram suficientes recorda=E7=F5es de um = velho homem.=20 Algo concreto e bom pode sair daqui se dedicarmos alguma = reflex=E3o =E0=20 seguinte proposta resulta at=E9 da discuss=E3o antecedente. = Proponho que os=20 seguintes dois pontos sejam acrescentados =E0s = =93recomenda=E7=F5es oficiais=94 da=20 Associa=E7=E3o:=20

I. A = forma=E7=E3o de=20 professores de matem=E1tica deve oferecer experi=EAncia em = trabalho=20 independente (=93criativo=94) a um n=EDvel apropriado sob a = forma de Semin=E1rio=20 sobre a resolu=E7=E3o de problemas ou de outra forma=20 adequada.

II. Os curso sobre = m=E9todos=20 devem ser oferecidos aos professores apenas uma liga=E7=E3o = estreita com os=20 cursos tem=E1ticos ou com pr=E1tica de ensinar e se = pratic=E1vel, apenas por=20 professores experientes, tanto em pesquisa matem=E1tica como em=20 ensino.

8. A atitude dos professores=20

    Como=20 referi anteriormente, as minhas classes destinadas a professores = foram na,=20 sua maioria, cursos sobre m=E9todos. Nessas classes procurei = atingir pontos=20 de utiliza=E7=E3o pr=E1tica imediata a serem usados diariamente = nas tarefas dos=20 professores. Por esta raz=E3o, inevitavelmente, tive que expressar = a minha=20 perspectiva sobre o dia-a-dia das tarefas dos professores e sobre = as suas=20 atitudes. Os meus coment=E1rios tenderam a assumir um car=E1cter = organizado=20 raz=E3o pela qual os condensei em =93Dez mandamentos para = Professores=94. Quero=20 agora acrescentar alguns coment=E1rios sobre essas dez=20 regras.
    Na formula=E7=E3o dessas regras, = tive em conta=20 os participantes das minhas aulas, professores que ensinam = matem=E1tica no=20 ensino secund=E1rio. Contudo, estas regras s=E3o aplic=E1veis a = qualquer=20 situa=E7=E3o de ensino, a qualquer assunto e a todos os n=EDveis, = mas=20 especificamente ao n=EDvel do ensino = secund=E1rio.
    No=20 entanto, os professores de matem=E1tica t=EAm mais e melhores = oportunidades de=20 aplicar algumas delas do que os professores de outras cadeiras, e = isto=20 refere-se em particular =E0s regras 6, 7 e 8.

=20

DEZ = MANDAMENTOS PARA=20 PROFESSORES=20
=20
1. = Seja interessado=20 na sua ci=EAncia.=20
2. = Conhe=E7a a sua=20 ci=EAncia.=20
3. = Conhe=E7a as formas=20 de aprendizagem. A melhor maneira de aprender algo =E9 = descobri-lo=20 por si mesmo.=20
4. = Tente ler nas=20 faces dos seus estudantes, tente ver as suas expectativas = e=20 dificuldades, ponha-se no lugar deles.=20
5. = D=EA-lhes n=E3o s=F3 a=20 informa=E7=E3o mas tamb=E9m saber, formas de racioc=EDnio, = h=E1bitos de=20 trabalho com m=E9todo.=20
6. = Permita que=20 aprendam por descoberta.=20
7. = Permita que=20 aprendam provando.=20
8. = Encare as=20 caracter=EDsticas do problema em m=E3os como podendo ser = =FAteis na=20 resolu=E7=E3o de outros problemas =96 Tente descobrir o = padr=E3o geral que=20 est=E1 por detr=E1s da situa=E7=E3o concreta = presente.=20
9. = N=E3o partilhe o=20 seu segredo todo de uma vez s=F3 =96 Permita que os alunos = o adivinhem=20 antes que o diga =96 deixe que descubram por si mesmos, = tanto quanto=20 for poss=EDvel.=20
10. = Sugira as=20 coisas, n=E3o force os alunos a aceitar.=20

A = tradu=E7=E3o dos=20 t=F3picos de 1 a 6 foi realizada por Elisa Mosquito, Ricardo = Inc=E1cio e=20 Teresa Ferreira que elaboraram 3=20 breves coment=E1rios. Os pontos 7 e 8 foram traduzidos por Sara Cravo. Revis=E3o de = Olga=20 Pombo

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